3.6 Näiteülesanded

Ellipsi ülesannete lahendamiseks tuleb teada valemeid:

(1) (ellipsi kanooniline võrrand, kui ellips on välja venitatud x-telje suunas ning keskpunkt on punktis (0; 0) )
(2)
(ellipsi kanooniline võrrand, kui ellips on välja venitatud y-telje suunas ning keskpunkt on punktis (0; 0) )
(3)
(ellipsi kanooniline võrrand, kui keskpunkt on punktis (m; n), murru nimetajas olevad tähistused on sama tähendusega, mis kahes eelmises valemis)
(4) b2 = a2 - c2
(5) (ellipsi ekstsentrilisus)

Neid valemeid omavahel kombineerides saame ülesanded lahendatud.

Järgnevaid näiteid uurides on soovitatav ellipsid ka joonistada. Abi selleks leiab punktist 3.5.

iDevice ikoon Näide 1

Koostame ellipsi kanoonilise võrrandi, kui ellips on välja venitatud x-telje suunas ning ellipsi pikem pooltelg on 5 ja lühem telg on 6.

Võtame kasutusele standardsed tähistused. Väga oluline on ülesande teksti õige mõistmine. See tähendab, kui pikem pooltelg on 5, siis võib tähistada a = 5. Lühem telg on 6, see tähendab b = 6:2 = 3. Tuletame meelde, et a ja b tähistasid just pooltelgede pikkuseid. Kuna ellips on välja venitatud x-telje suunas, siis tulevad antud arvud sisestada valemis (1) õigetele kohtadele ning nii olemegi saanud ellipsi kanoonilise võrrandi:

.

Nagu igal teist järku joonel, on ka ellipsil olemas üldvõrrand. Kanoonilisest võrrandist üldvõrrandi saamiseks tuleb kaotada murrud, kõik liikmed viia vasakule poole võrdusmärki ning järjestada. Viimase võrrrandiga nii käitudes jõuame tulemuseni

9x2 + 25y2 - 225 = 0.


iDevice ikoon Näide 2

Koostame ellipsi kanoonilise võrrandi, kui ellips on välja venitatud x-telje suunas, ellipsi fookuste vaheline kaugus on 8, lühem pooltelg on 2 ja keskpunkt on (0; 0). Leiame lisaks ellipsi fookused (st punkti koordinaadid) ja ekstsentrilisuse.

Võtame taaskord kasutusele standardsed tähistused. Kuna c tähistab fookuse kaugust keskpunktist, siis saame tähistada 2c = 8, millest c = 4. Lisaks on antud b = 2. Saame kohe leida ellipsi fookused. Need asuvad x-teljel (ellipsi fookused asuvad pikemal teljel), seega fookuste teine koordinaat on 0. Esimese koordinaadi leidmiseks arvestame, et fookused asuvad nelja ühiku kaugusel keskpunktist (tee joonis!). Seega ellipsi fookused on (4; 0) ja (-4; 0).

Ellipsi kanoonilise võrrandi koostamiseks on meil vaja teada pooltelgede pikkuseid. Leiame pikema pooltelje. Selleks avaldame valemist (4) suuruse a2:

a2 = b2 + c2 = 22 + 42 = 20.
Paneme tähele, et siinkohal ei peagi tegelikult leidma suurust a, sest kanoonilise võrrandis on vaja just a2. Valemi (1) põhjal
.
Ellipsi ekstsentrilisuse leiame valemi (5) abil:
Sarnaseid ülesandeid saab väga palju koostada. Lähteandmed võivad varieeruda: antud on pikem telg, lühem telg, fookused, ekstsentrilisus jne. Lahendusskeem on kõigil ühine: kasutusele tuleb võtta õiged tähistused ning sageli on vaja valemitest (4) ja (5) avaldada puuduvaid suurusi, et ellipsi võrrandit leida.

iDevice ikoon Näide 3
Leiame ellipsi pooltelgede pikkused, fookused ja ekstsentrilisuse, kui ellips on antud võrrandiga 9x2 + y2 = 36.

Viime antud võrrandi kanoonilisele kujule, sest sellest on võimalik välja lugeda pooltelgede pikkused. Selleks jagame võrduse mõlemaid pooli suurusega 36:

.
Võrrandist on näha, et ellips on välja venitatud y-telje suunas (sest y2 nimetajas on suurem arv kui x2 nimetajas). Saame, et lühem pooltelg on ning pikem pooltelg on .

Fookuste leidmiseks on meil vaja teada suurust c, mille leiame valemist (4):

c2 = a2 - b2 = 36 - 4 = 32
.
Võttes arvesse, et fookused asuvad y-teljel ning ellipsi keskpunkt on (0; 0) (sest kanoonilises võrrandis pole x-st ja y-st midagi lahutatud), saame fookuste koordinaatideks ja .

Ekstsentrilisus on valemi (5) põhjal:

.

iDevice ikoon Näide 4

Leiame ellipsi 4x2 + 9y2 + 32x - 54y + 109 = 0 keskpunkti, pooltelgede pikkused, fookused ja ekstsentrilisuse.

Hetkel on antud ellipsi üldvõrrand, kuid olulisi suurusi saab välja lugeda kanoonilisest võrrandist. Seega kõigepealt viime antud võrrandi kanoonilisele kujule.

Esiteks rühmitame liikmed muutujate järgi:

4x2 + 32x + 9y2 - 54y + 109 = 0.

Teiseks võtame ruutliikmete ees olevad kordajad sulgude ette:

4(x2 + 8x) + 9(y2 - 6y) + 109 = 0.

Kolmandaks teisendame sulgudes olevad avaldised täisruutudeks:

4(x2 + 8x + 16 - 16) + 9(y2 - 6y + 9 - 9) + 109 = 0
4(x2 + 8x + 16) - 64 + 9(y2 - 6y + 9) - 81 + 109 = 0
4(x + 4)2 + 9(y - 3)2 - 36 = 0.

Lõpuks jõuamegi kanoonilise võrrandini, kui -36 viia teisele poole võrdusmärki ning seejärel võrrandi mõlemaid pooli jagada 36-ga:

4(x + 4)2 + 9(y - 3)2 = 36
.

Võrrandist loeme välja ellipsi keskpunkti (-4; 3) (sulgudes olevad arvud vastandmärkidega) ning pikema pooltelje ja lühema pooltelje . Näeme, et ellips on välja venitatud x-telje suunas (sest x2 nimetajas on suurem arv kui y2 nimetajas).

Ellipsi fookuste leidmiseks peab valemist (4) arvutama suuruse c:

c2 = a2 - b2 = 9 - 4 = 5
.

Fookuste koordinaatide leidmisel tuleb silmas pidada, et ellipsi keskpunkt on nihkunud. Seega enam ei saa kindlalt väita, et fookuse üks koordinaatidest on 0 ning teine koordinaat on c. Paremaks ettekujutuse saamiseks järgmisest arvutustest on soovitatav teha joonis. Abi selleks leiab punktist 3.5.2.
Kuna ellips on välja venitatud x-telje suunas, siis fookuste esimeste koordinaatide leidmiseks tuleb keskpunkti x-koordinaadile liita/lahutada suurus c (fookuse kaugus keskpunktist), saame
ja . Fookuste teiseks koordinaadiks on keskpunkti y-koordinaat, st 3. Seega ellipsi fookused asuvad punktides ja .

Ellipsi ekstsentrilisus on suurus, mis ei sõltu ellipsi paiknemisest teljestikus. Seega antud juhul valemi (5) põhjal:

.

Litsenseeritud: Creative Commons Attribution Non-commercial Share Alike 3.0 License

Siiri Künnapas, Tallinna Tehnikakõrgkool, 2011